Problema: il-limitu tal-mejda
Sistema Martingale b'$10 fuq mejda b'limitu ta' $500. Kemm-il darba tinkiser, kemm titlef meta tinkiser, u jgħin jekk jogħla l-limitu?
Sitt telfiet wara xulxin ikissruha: 1.8% għal kull ċiklu, madwar 60% tas-sessjonijiet ta' 100 dawra. Il-kollass jiswa $630. Jekk il-limitu jogħla għal $5,000, il-kollass isir aktar rari (0.25% għal kull ċiklu) u akbar ($5,110). It-telf mistenni għal kull dollaru milgħub huwa 2.70% b'kull limitu.
Il-problema
Plejer jagħmel imħatra ta' $10 fuq l-aħmarimħatraAħmarImħatra bi ħlas indaqs fuq it-18-il numru aħmar. Bil-Franċiż: rouge.Aqra kollox → u jirdoppja wara kull telfa, u jerġa' jibda mill-bidu wara rebħa. L-imħatra massima tal-mejda hija $500. (a) Kemm-il telfa wara xulxin ikissru l-progressjonistrateġijaProgressjoniKwalunkwe regola li tibdel l-imħatra skont ir-riżultati ta' qabel. Il-progressjonijiet negattivi jgħolluha wara telfiet, dawk pożittivi wara rebħiet.Aqra kollox →? (b) X'inhi l-probabbiltàmatematikaProbabbiltàKemm huwa probabbli riżultat, minn 0 sa 1 jew minn 0% sa 100%. Numru wieħed: 1/37 = 2.70%.Aqra kollox → għal kull ċiklu? (c) Kemm jintilef fil-kollass? (d) Kif jibdel it-tweġibiet limitu ta' $5,000? (e) Hemm xi limitu li jagħmel is-sistema profittabbli?
Is-soluzzjonijiet (a)–(c)
L-imħatri: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Is-seba' mħatra tkun 640 > 500, għalhekk sitt telfiet ikissruha. (b) p(telfa) = 19/37 fuq l-aħmar; (19/37)⁶ = 0.0183, madwar 1.8% għal kull ċiklu. Ċiklu jdum madwar żewġ dawriet bħala medja, għalhekk sessjoni ta' 100 dawra għandha bejn wieħed u ieħor 50 ċiklu u p(mill-inqas kollass wieħed) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, jiġifieri 63 unitàflusUnitàL-imħatra bażi li biha taħdem sistema jew plejer. Il-progressjonijiet jiġu deskritti f'unitajiet biex japplikaw fuq kull mejda.Aqra kollox → bażi, kontra l-$10 li ċ-ċiklu kien qed jipprova jirbaħ.
Is-soluzzjoni (d)
B'$5,000: l-imħatri sa 2,560 huma permessi; l-għaxar imħatra, 5,120, tiġi rrifjutata. Disa' telfiet ikissruha: (19/37)⁹ ≈ 0.25% għal kull ċiklu, madwar 11% tas-sessjonijiet ta' 100 dawra. It-telf fil-kollass: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Il-plejer xtara katastrofi aktar rari bil-prezz ta' waħda akbar. Fuq ħafna sessjonijiet l-ispiża mistennija tal-kollassi hija p × telf ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 għal kull ċiklu bil-limitu ta' $500 u 0.0025 × 5,110 = $12.8 b'$5,000; iż-żewġ numri huma qrib iżda mhumiex ugwali, u kull wieħed huwa t-telf mistennimatematikaTelf mistenniIl-valur mistenni mmultiplikat bl-ammont totali tal-imħatri; l-ammont medju mitluf matul sessjoni jew perjodu.Aqra kollox → taċ-ċiklu flimkien mal-$10 li jaqilgħu ċ-ċikli rebbieħa.
Is-soluzzjoni (e)
Le. It-telf mistenni għal kull ċiklu = (l-ammont totali mistenni milgħub fiċ-ċiklu) / 37, b'kull limitu, għax kull imħatra hija −1/37 tal-valur tagħha. Il-limitu jiddeċiedi biss kif jitqassam it-telf bejn ħafna rebħiet żgħar u ftit telfiet kbar. Mingħajr limitu u b'kapital tal-logħobflusKapital tal-logħobL-ammont totali mwarrab għal-logħob. Il-ġestjoni tal-kapital hija d-deċiżjoni ta' kemm minnu tirriskja għal kull imħatra u għal kull sessjoni.Aqra kollox → infinit il-progressjoni kienet “taħdem”, fis-sens li qatt ma kienet tinkiser, iżda kienet ukoll tirriskja ammont bla limitu b'telf mistenni ta' 2.70% ta' dak l-ammont bla limitu. Mhuwiex il-limitu tal-mejdamejdaLimitu tal-mejdaL-imħatra minima u massima permessa. Il-massimu huwa dak li jwaqqaf il-progressjonijiet li jirdoppjaw.Aqra kollox → li jwaqqaf is-sistema MartingalestrateġijaMartingaleProgressjoni li tirdoppja l-imħatra wara kull telfa. Ara t-taqsima tal-istrateġiji għal dak li tagħmel u dak li ma tagħmilx.Aqra kollox → milli taħdem. Hija l-aritmetika.
Żewġ imwejjed veri
L-eżempju ta' Thorp huwa mejda ta' $1 b'massimu ta' $1,000, fejn plejer jittama li jirbaħ $30 għall-ikla ta' filgħaxija, dollaru kull darba. L-imħatri 1, 2, 4 … 512 jippermettu għaxar imħatri, għalhekk għaxar telfiet wara xulxin ikissru l-progressjoni: darba kull 785 ċiklu fuq rota Ewropea (darba kull 613 fuq waħda Amerikana), bi spiża ta' $1,023. It-tletin ċiklu jirnexxu kollha f'96.2% tal-każijiet. Fil-3.8% l-oħra jintilfu madwar $1,000, u r-riżultat medju tas-serata huwa −$9.17, li huwa eżattament 1/37 tal-$339 li t-tletin ċiklu jirriskjaw bħala medja. Mejda ta' $5 b'massimu ta' $2,000 mhix differenti: imħatri sa $1,280 jippermettu disa' mħatri, u l-kollass jiġi darba kull 403 ċiklu fuq rota Ewropea (darba kull 323 fuq waħda Amerikana) u jiswa $2,555.
Plejer għani
Agħti lill-progressjoni kapital kbir minflok limitu baxx: 1,000 unità, bażi ta' unità waħda u 1,000 dawra fuq l-aħmar, u tibda mill-ġdid b'unità waħda kull meta d-doppju li jmiss ikun aktar minn dak li fadal. Issimulajna miljun serata bħal din. Fuq rota Ewropea 52% jispiċċaw 'il quddiem, 21% jitilfu kollox, u r-riżultat medju huwa −124 unità. Anke f'logħba mingħajr żerorotaŻeroIl-kompartiment aħdar wieħed li l-ebda mħatra bi ħlas indaqs, fuq tużżana jew fuq kolonna ma tkopri; is-sors tal-vantaġġ tal-każinò. Jissejjaħ ukoll żero wieħed, 0.Aqra kollox →, fejn kull imħatra hija ġusta, madwar 60% biss kienu jispiċċaw 'il quddiem. Is-serata tas-soltu hija rebħa żgħira; il-medja titħallas mis-serati li jispiċċaw f'żero.
Il-lezzjoni
Il-każinòs jistabbilixxu limiti biex irażżnu l-varjanzamatematikaVarjanzaKejl ta' kemm jitferrxu r-riżultati madwar il-valur mistenni. Għolja għall-imħatra dritta, baxxa għall-imħatri bi ħlas indaqs.Aqra kollox → tagħhom stess, mhux biex jegħlbu s-sistemi. Li jegħlbu l-Martingale huwa effett sekondarju li jilqgħuh bil-qalb, u l-aritmetika kienet tegħlibha xorta waħda. Plejer li jaħseb li l-problema hija l-limitu sab l-irdum u ħasbu n-niżla.
Formula
Mistoqsijiet
Jippermettilek tasal sa limitu ogħla, fejn il-kollass huwa aktar rari u akbar. It-telf mistenni għal kull dollaru ma jinbidilx.
Imħatri ta' 10, 30, 70, 150, 310: il-limitu ta' $500 jintlaħaq wara ħames telfiet, u l-kollass jiswa $570. L-istess 2.70%.
Biex plejer wieħed ma jkunx jista' jilgħab aktar milli r-riżerva tal-każinò tiflaħ tħallas bla diffikultà. Ġestjoni tal-varjanza.
Divertiment bil-matematika
L-ewwel ipprova solvihom int. Kull soluzzjoni hija mitwija; iftaħha meta tkun lest.
Sistema MartingalestrateġijaMartingaleProgressjoni li tirdoppja l-imħatra wara kull telfa. Ara t-taqsima tal-istrateġiji għal dak li tagħmel u dak li ma tagħmilx.Aqra kollox → tibda b’$100 fuq l-aħmarimħatraAħmarImħatra bi ħlas indaqs fuq it-18-il numru aħmar. Bil-Franċiż: rouge.Aqra kollox → u tippermetti lilha nfisha l-iktar n imħatri f’ċiklu: wara n telfiet wara xulxin taqta’ qalbha u terġa’ tibda. Ikteb ir-riżultat medju ta’ ċiklu wieħed bħala formula f’n, u kkalkulah għal 5, 6 u 7 imħatri fuq rota Ewropea.
Uri s-soluzzjoni
Tweġiba Il-medja hija 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 għal 5 imħatri, −$17.35 għal 6 u −$20.52 għal 7. Jekk tippermetti aktar imħatri, iċ-ċiklu medju jmur għall-agħar, mhux għall-aħjar.
Ċiklu jirbaħ $100 sakemm ma jitilfux l-n imħatri kollha, li jiġri bi probabbiltà qⁿ, fejn q = 19/37. Meta jitilfu kollha, l-ammonti 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ jagħmlu 100 × (2ⁿ − 1). Għalhekk il-medja hija 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Hawn 2q = 38/37, ftit aktar minn 1, għalhekk (2q)ⁿ jikber ma’ n u l-medja tinżel: n = 5 jagħti 1.1426 u −$14.26; n = 6 jagħti 1.1735 u −$17.35; n = 7 jagħti 1.2052 u −$20.52. Sellum itwal jitlef inqas spiss, fi 3.6%, 1.8% u 0.9% taċ-ċikli, iżda kull telfa hija d-doppju, u aktar flus jgħaddu mill-mejda kull ċiklu, bi 2.70% ta’ kull imħatra.
Fuq rota Amerikana 2q = 40/38 u ċ-ċifri huma −$29.24, −$36.04 u −$43.20 (Taylor, 2021). F’logħba mingħajr żerorotaŻeroIl-kompartiment aħdar wieħed li l-ebda mħatra bi ħlas indaqs, fuq tużżana jew fuq kolonna ma tkopri; is-sors tal-vantaġġ tal-każinò. Jissejjaħ ukoll żero wieħed, 0.Aqra kollox → 2q = 1, u kull ċiklu jagħti medja ta’ eżatt żero, tkun kemm tkun twil is-sellum.
Il-“Martingale l-kbira” tirdoppja l-imħatra wara telfa u żżid unitàflusUnitàL-imħatra bażi li biha taħdem sistema jew plejer. Il-progressjonijiet jiġu deskritti f'unitajiet biex japplikaw fuq kull mejda.Aqra kollox → waħda, għalhekk l-ammonti jmorru 1, 3, 7, 15, 31 … Kemm int ’il fuq meta l-ewwel rebħa tiġi fl-1, fit-2, fit-3 jew fil-k-il imħatra? B’unità ta’ $10 u massimu ta’ $500, kemm-il darba jinkiser ċiklu, u kemm jiswa ċiklu bħala medja?
Uri s-soluzzjoni
Tweġiba Rebħa fil-k-il imħatra tħallik k unitajiet ’il fuq: +1, +2, +3 u hekk. B’$10 u $500 iċ-ċiklu jinkiser wara ħames telfiet, 3.57% taċ-ċikli, għal −$570. Bħala medja ċiklu jitlef $2.32 minn $85.73 irriskjati: 2.70%.
Il-k-il imħatra hija 2ᵏ − 1 unitajiet: 1, 3, 7, 15, 31. L-ewwel k − 1 imħatri jagħmlu 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Rebħa fil-k-il imħatra tħallas 2ᵏ − 1, għalhekk iċ-ċiklu jispiċċa (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unitajiet ’il fuq: unità żejda għal kull telfa qabel ir-rebħa.
B’$10 l-unità l-ammonti huma $10, $30, $70, $150 u $310; li jmiss, $630, jaqbeż il-massimu ta’ $500. Ħames telfiet wara xulxin, (19/37)⁵ = 3.57%, jiswew 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Medja: ir-rebħiet idaħħlu $10 × k bi probabbiltà (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 għal k = 1 sa 5, u l-ksur jieħu $570 bi probabbiltà ta’ 3.57%; flimkien −$2.32. Il-flus irriskjati jagħmlu medja ta’ $85.73 kull ċiklu, u 2.32/85.73 = 2.70%. Il-Martingale ordinarja fuq l-istess mejda tinkiser wara sitt telfiet, 1.83% taċ-ċikli, għal −$630, u titlef $1.74 minn $64.20 irriskjati: għal darb’oħra 2.70%.
Plejer jippjana Martingale fuq l-aħmar b’ewwel imħatra ta’ $1 fuq mejda b’limitu ta’ $1,000, għalhekk huma possibbli għaxar imħatri: $1, $2, $4 u hekk sa $512. Kemm-il darba ċiklu jitlef l-għaxra kollha, kemm idum dan bħala medja biex jiġri, u kemm-il darba lejla ta’ 200 imħatra tispiċċa b’dak il-mod?
Uri s-soluzzjoni
Tweġiba Ċiklu jitlef l-għaxra kollha madwar darba minn 784, u dan jiswa $1,023. Dan huwa madwar 1,600 imħatra bħala medja, u lejla ta’ 200 imħatra taħbat mal-ħajt madwar 11% tal-ħin. Ċiklu xorta jitlef $0.31 bħala medja minn $11.31 irriskjati: 2.70%.
Imħatra fuq l-aħmar titlef bi probabbiltà ta’ 19/37, iż-żero inkluż. Għaxra wara xulxin: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, madwar 1 minn 784. L-ammonti 1 + 2 + 4 + … + 512 jagħmlu $1,023.
Ċiklu jieħu 2.05 imħatri bħala medja, għalhekk 784 ċiklu jieħdu madwar 1,600 imħatra. Jekk tgħodd dawra b’dawra, sensiela ta’ għaxar telfiet tidher x’imkien f’200 imħatra 11.3% tal-ħin.
Bejn diżastru u ieħor il-plejer jirbaħ $1 kull ċiklu: madwar $783 qabel dak ħażin, imbagħad −$1,023, madwar −$240 fuq il-perjodu kollu. Għal kull ċiklu: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. Flus irriskjati għal kull ċiklu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. U −0.31/11.31 = −2.70%.
Qabbel ma’ ewwel imħatra ta’ $10 b’limitu ta’ $500, sitt imħatri: il-ħajt jiġi darba f’55 ċiklu, u lejla ta’ 200 imħatra tiltaqa’ miegħu 84% tal-ħin. Limitu ogħla jagħmel il-ħabta aktar rari u akbar, mhux irħas.
Ftit daħk
Aktar rari u akbar, b'kull limitu. Il-prodott jibqa' kostanti.
Sorsi
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, it-2 edizzjoni.